Soluzioni

 

Num.
Problema
Soluzione
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 Problema del piccione: passa o non passa?
Immaginate di circondare completamente la Terra con un filo di ferro teso all'altezza dell'equatore e appoggiato al suolo. La lunghezza del filo sarà ovviamente uguale alla circonferenza della Terra. Immaginate ora di togliere il filo, di allungarlo di 1 metro e poi di rimetterlo attorno alla Terra. Ovviamente questa volta non toccherà il suolo ma rimarrà leggermente sollevato da terra.
La domanda è la seguente: supponendo che la terra sia perfettamente sferica e che il filo rimanga sollevato dal suolo in modo uniforme, sotto il filo ci passa un piccione adulto?		 Se la terra è esattamente sferica, è possibile considerare solo come si incrementa la circonferenza ed il raggio.
Poiché R = C/2Pi e R1 = (C+1)/2Pi. Quindi R1 > R
Occorre solo verificare quanto è grande la differenza R1-R.
Supponendo anche ad esempio per assurdo C=10 metri, R=1.59154 metri, R1=1.75070 metri. R1-R=0.15915 metri ovvero almeno 16 cm circa.
Se C si moltiplica di 10, 100, 1000, etc la differenza rimane costantemente a R1-R=0.15915
Per cui è certo: il piccione passa sotto il filo!
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 Perché 1 non è primo? Elencare almeno 4 buoni motivi di carattere generale di Matematica che comportano una conveniente eslusione dell’1 dai primi, anche se lo si potrebbe considerare primo. a) Tutti i numeri primi hanno due divisori, l’1 no;
b) Se usiamo il crivello di Eratostene e segniamo 1 come primo, dovendo eliminare i multipli di 1 si eliminerebbero tutti i numeri naturali in N e rimarrebbe solo l’1 come primo;
c) Il Teorema fondamentale dell’Algebra sarebbe da enunciare in modo più complesso per tener conto delle proprietà dell’1; cosi’ anche molte funzioni come phi di Eulero etc;
d) Nell'Algebra, gli elementi invertibili degli anelli, cioè quegli elementi a per i quali si può risolvere l'equazione ax=1, hanno un comportamento speciale. In N l'unico elemento invertibile è proprio 1; esso va quindi trattato a parte.
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 Paradossi concettuali. Sappiamo che 1 <> -1.
Indichiamo con sqrt() la radice quadrata.
Qual è l’errore concettuale del paradosso che vi presenta l’eguaglianza successiva?
1 = sqrt(1) = sqrt((-1)*(-1)) = sqrt(-1) * sqrt(-1) = i * i = i^2 = -1.		 I passaggi apparentemente leciti nascondono un errore concettuale; cioè la differenza concettuale tra radice aritmetica di un intero positivo e la radice algebrica. Sono state mischiate le due cose.
Siamo partiti dalla radice aritmetica di un numero positivo, ma poi l’abbiamo trasformata nella radice di un negativo che non è possibile; cioè non è ammesso partendo da una radice aritmetica arrivare a sqrt(-1) * sqrt(-1) ; la seconda parte è introducibile solo come radici algebriche se si introducono i numeri complessi ma non mischiando le cose con le radici aritmetiche.
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 Dire quante sono le radici reali e le radici complesse della seguente equazione algebrica di 6° grado:
160x^6 – 888x^5 – 1188x^4 + 4222x^3 + 2463 x^2 – 3600x + 756 = 0.		 Le 6 radici dell’equazione algebrica di 6°grado:
160x^6 – 888x^5 – 1188x^4 + 4222x^3 + 2463 x^2 – 3600x + 756 = 0
sono tutte reali.
Per conoscere il loro valore numerico, si vada nella sezione Software del presente Sito e si utilizzi il Programma Eseguibile
denominato "La risoluzione di equazioni algebriche di grado elevato".
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 Nuovo quiz (matematica ricreativa, da "Il sole 24 Ore del 28.2.2010 "Distinguere Veridicitori e Cialtronanti" di Jan Stewart):
Inserite esattamente i tre usuali simboli matematici (meno, più, uguale) tra le cifre:
123456789
in modo che il risultato sia 100. Se volete potete ripetere lo stesso simbolo, ma ogni ripetizione viene contata nel totale dei tre simboli. Non è consentito modificare l'ordine delle cifre.
(Un piccolo aiutino: per ogni soluzione non occorre utilizzare tutte e nove le cifre, ma solo piccoli gruppi di cifre consecutive).		 Si divide il numero 123456789 in piccoli gruppi di due cifre: 12 23 34 45 56 67 78 89.
Se si sottrae uno di tali numeri da 100, si ottiene un multiplo di 11, es. 100 - 12 = 88, 100-23 = 77, 100-34 = 66, e così via. Quindi se si somma uno di tali numeri di due cifre e un multiplo di due cifre di 11, si ottiene sempre 100:
12 + 88 = 100
23 + 77 = 100
34 + 66 = 100
45 + 55= 100
… … …
78 + 22 = 100
89 + 11 = 100
La soluzione si basa quindi sulla somma tra un numero di due cifre consecutive e il suo complemento a 100, che è un piccolo multiplo di 11. Lo stesso vale per gruppi di tre cifre consecutive e 1000, gruppi di quattro cifre e 10000, ma ora il complemento non è più un multiplo di 11.
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 L’equazione indeterminata x^2-4ky^2=-1 è risolvibile per valori interi di x e di y? L’equazione x^2-4ky^2=-1 non può avere soluzioni per valori interi di x e di y. Infatti si ha x^2-4ky^2=-1 per cui è evidente che x^2 e quindi anche x sono di valore dispari. Poiché il quadrato di un numero dispari può sempre porsi sotto la forma 8m +1 con m intero si verrebbe ad avere che 8m+1=4ky^2-1 da cui 8m=(4ky^2-1)-1 e quindi 8m=4ky^2-2; dividendo ora per 2 sia il primo membro che il secondo membro dell’equazione si otterrebbe la seguente uguaglianza 4m=2ky^2-1 evidentemente impossibile.
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 E' noto che l’equazione indeterminata del tipo x^2-D*y^2=1 con D numero intero non quadrato perfetto, conosciuta con il nome di equazione di Pell,. presenta infinite soluzioni, cioè infinite coppie di numeri interi per x e y che la soddisfano. Per la seguente equazione: x^2-19*y^2=1 si chiede di trovare almeno tre coppie (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) di numeri interi quali soluzioni della suddetta equazione.

Per trovare le tre coppie richieste è sufficiente trovare la coppia che presenta i più piccoli valori di x di y che soddisfano l’equazione e che chiameremo coppia .fondamentale (x1,y1). Una volta trovata questa coppia per calcolare tutte le altre coppie si utilizzano le seguenti formule
ricorsive:
xk+1=x1*xk*D*y1*yk
yk+1=y1*xk+x1*yk
con k=1, 2, 3...
Dato poi che per l’equazione x^2-19*y^2=1 i valori della coppia (x1,y1) che la soddisfano non sono grandi si può procedere per la loro ricerca, o in modo esaustivo, o altrimenti in
modo più efficiente utilizzando il programma “La risoluzione delle equazioni di Pell” disponibile nella sezione Programmi & Software del presente sito. Ad ogni modo le tre coppie richieste sono le seguenti:
x1=170 y1=39
x2=57799 y2=13260
x3=19651490 y2=4508361
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 Dato un numero pari N e sapendo che una coppia di numeri è definita da due primi (p, q ) la cui somma p+q è uguale a N , trovare qual è il numero massimo di coppie per cui si ha 50000=p+q. Per avere la soluzione è sufficiente utilizzare nella sezione Software del presente Sito il Contributo n.1 sulla congettura di GOLDBACH
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 Trovare almeno 10 coppie di numeri, dove ciascuna coppia e formata da due numeri primi la cui somma uguaglia il numero N=1000000000 Per avere la soluzione è sufficiente utilizzare nella sezione Software del presente Sito il Contributo n.2 sulla congettura di GOLDBACH
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 Cerchiamo le soluzioni intere non banali dell’equazione di terzo grado Y^3=x^3+91. Y^3-x^3 = (y-x)(y^2+xy+x^2)= 1* 91 = 7 * 13
Per cui sono possibili almeno 8 sistemi di equazioni
y-x = 1 (-1, ±13, ±7, ±91)
y^2+xy+x^2= 91 (-91, ±7, ±13, ±1)
Per portarci ad una somma e prodotto (delle soluzioni di una equazione di secondo grado) s = y + x t = x y , allora per risolvere poniamo x = -x
Da cui s=x+y= 1 dalla prima equazione mentre s^2 – t = 91 dalla seconda poiché s=1 allora t=-90 l’equazione di secondo grado da risolvere ora è semplicemente k^2 -sk + t = 0 da cui si trovano i valori di x e y. Ripetiamo per tutti i valori positivi e negativi e da queste soluzioni scartiamo i valori non interi.
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 Dimostrare che il numero 3^105+4^105 è divisibile per 7, 13, 49, 181, 379. E’ dimostrabile che x+y| x ^ (2n+1) + y ^ (2n+1)
Sappiamo inoltre che 105 = 3 * 5 * 7
Per cui:
7 = 3 + 4 | 3^105 + 4^105
7*13 = 3^3 + 4^3| (3^3)^35 + (4^3)^35
7*181 = 3^5 + 4^5| (3^5)^21 + (4^5)*21
7*2*379 = 3^7 + 4^7| (3^7)^15 + (4^7)^15
Con questa strada non è facile dimostrabile che è divisibile per 49, però MCD(49, 3^105 + 4^105) = 49
Per cui è divisibile anche per 49.
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 Del numero 50! quante sono le sue ultime cifre di valore 0? Le ultime cifre di valore 0 del numero 50! sono 12.
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 E’ noto che il fattoriale di un numero N è il prodotto di tutti i numeri interi positivi sino ad N compreso e viene indicato con il simbolo N!
Si chiede di conoscere di quante cifre è composto 70!		 Le cifre che compongono 70! sono 101.
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 I numeri repunit possono scriversi nella forma Rn=(b^n -1)/(b-1). Se la base b=10 allora Rn=(10^n-1)/9.
Se n=2008 e consideriamo la radice quadrata di Rn ovvero sqrt(Rn), trovare un metodo per stabilire per n pari, qual è la 1005-esima cifra dopo la virgola.		 Con PARI/GP eseguiamo la linea:
? for(n=1,16,;print(sqrt((10^n-1)/9)););

1.000000000000000000000000000
3.316624790355399849114932737
10.53565375285273884840140466
33.33166662499791653644921807
105.4087282913516607235513258
333.3331666666249999791666536
1054.092500684830790244218031
3333.333316666666624999999792
10540.92552862413500506473057
33333.33333166666666662500000
105409.2553384189314566004040
333333.3333331666666666666250
1054092.553389407072705295041
3333333.333333316666666666667
10540925.53389459250286687820
33333333.33333333166666666667

Si osserva che:
A) Per ogni n pari 2,4,6,8,10,12,… dopo la virgola ci sono dei 3 e dopo i “3”, pi un solo “1” seguito da “6” in numero doppio dei “3”, seguiti fissi da “2” e “4” e da un numero di “9” pari al numero di “3” etc.
B) Il numero dei 3 dopo la virgola lo si può stabilire facilmente:
se n è esprimibile in potenza di 2 e aggiungendo 1 all’esponente. Ad esempio n=8=2^3 il numero di 3 dopo la virgola è 3+1=4
se n non è esprimibile in potenza di 2 sappiamo comunque che il numero di “3” aumenta di 1 ogni 2
Quindi poiché stiamo facendo riferimento a R2008 e 2008 è pari (ovvero del tipo 2n) allora sqrt(Rn) ha dei “3” dopo la virgola
Inoltre n=2008 ha almeno 1004 “3”. Quindi l’ultimo “3” è in posizione 1004 e in 1005 c’è un “1”, poi da 1006 a 3014 abbiamo dei “6”, etc.
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 Trovare la differenza dei fattori primi che compongono il numero 9991. 9991=10.000–9=10^4-3^2=(100-3)*(100+3)=97*103
Per cui 103-97=6
La differenza dei fattori primi è 6.
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 Del numero di Mersenne 2^3896789219 -1 (non si sa esso sia primo o composto), che è formato da più di un miliardo di cifre, trovare quali sono la sue tre ultime cifre. Le ultime tre cifre del numero 2^ 3896789219 -1 sono in ordine le
seguenti : 2 8 7
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 Si sa che il numero 2^3217-1 è un numero primo di Mersenne. Si trovi di quante cifre esso è composto. Le cifre che compongono 2^3217-1 sono 969.
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 Nella Teoria dei Numeri i numeri primi della forma p=(2^q+1)/3 con q anch'esso primo sono denominati numeri primi di Wagstaff. Si domanda di trovare il più piccolo primo q > 2 per il quale (2^q+1)/3 non è un primo di Wagstaff. il più piccolo primo è q = 29.
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 Trovare almeno un numero omirp di 11 cifre (cioè maggiore di 10^10) Numeri omirp di 11 cifre ve ne sono moltissimi (una stima molto approssimata può essere di circa mezzo miliardo). Si vuole segnalare qui che il più piccolo omirp di 11 cifre è 10000000207, il più grande omirp di 11 cifre è 99999999977.
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 Tenendo presente la definizione di un numero omirp (vedi problema Num. 8) di questi 6 numeri primi quali di essi sono anche numeri omirp?
16829; 91243; 37409 ; 789216689; 367512869; 16489483.		 37409; 789216689; 367512869.
9
 Nel quiz n. 8 del 7/11/2009 proposto dal Prof. Di Noto si evince che tutti i numeri primi p, ad esclusione del 2 e del 3 , sono solo multipli di 6 aumentati di una unità (p=6n+1) o diminuiti di una unità (p=6n-1). Perché? Gli interi delle seguenti forme: 6n , 6n+2, 6n+3, 6n+4 con n intero
> 0 sono evidentemente tutti non primi; rimangono quindi solo gli
interi della forma 6n+1 e della forma 6n+5, dove 6n+5 si può porre
sotto la forma 6m-1 se si considera m=n+1.
8
 Un numero primo "omirp" (primo scritto al contrario) è un numero primo che, se scritto al contrario, dà un altro numero primo; per esempio 13 diventa 31, 17 diventa 71 e viceversa, ecc. (vedi voce "Numero omirp" di Wikipedia). Il nostro quiz è il seguente:
Perché entrambi i numeri primi sono sempre della stessa forma numerica 6n-1 oppure 6n+1 ?

Poiché le somma delle cifre del numero primo e del suo eventuale numero omirp sono uguali, e di forma 3n-1 oppure 3n+1, tale segno viene conservato nella forma 6n+1 dal numero omirp, e quindi entrambi sono di forma 6n-1 oppure 6n+1; i due numeri insomma appartengono alla stessa forma numerica, e come tali la loro differenza è sempre un multiplo di 6.
Primo esempio:
numero primo 37 = 6*6 + 1, numero omirp 73 = 6*12 + 1,
differenza 73 - 37 = 36 = 6*6 multiplo di 6;
somma cifre 3 + 7 = 7 + 3 = 10 = 3*3 +1
Secondo esempio:
numero primo 17 = 6*3 - 1, numero omirp 71= 6*12 - 1,
differenza 71 - 17 = 54 =6*9 = 54 = 6*9 multiplo di 6
somma cifre 7 + 1= 1 + 7 = 8 = 3*3 - 1
Questo vale naturalmente per tutti i numeri primi e i loro eventuali numeri omirp.
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 Per i numeri sino a 10000:
a) quanti primi di Landau ci sono?
b) qual’ è il valore numerico del primo di Landau più prossimo a 10000?
c) qual’è la percentuale dei Primi di Landau rispetto ai Primi generici?

Si è fatto riferimento ad un programma dell'Ing. Teodoro relativo al calcolo dei numeri primi di Landau ottenendo i seguenti dati:

  1. sino a 10000 vi sono solo 19 primi di Landau;
  2. il valore numerico del primo di Landau più prossimo a 10000 è 8837;
  3. 1,546% è la percentuale dei i numeri primi rispetto ai numeri primi generici (essendo 1229 il numero di questi sino a 10000).
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 Dato il seguente Numero di Mersenne: 2^3321929603-1, dire:
a) quanto sarebbe lungo in chilometri;
b) se esso è composto;
c) ammesso che sia composto, trovare un suo divisore.
  1. sulla falsariga dell'esempio riportato nell'articolo del Prof. Di Maria "Nuovi record sui numeri primi ……." dove per il numero di 2^43112609-1 veniva riportata una lunghezza di 40 Km per il
    per il numero 2^3321929603-1, fatta la debita proporzione, risulta una lunghezza di circa 3082 Km (circa la distanza fra Parigi e Il Cairo).
  2. per sapere se il numero 2^3321929603-1 è composto si deve fare riferimento al seguente teorema, stabilito da Eulero, dimostrato da Lagrange e in seguito anche da Lucas: se q è un primo del tipo q=3(mod 4) allora 2q+1 divide Mq se e solo se 2q+1 è un primo; se q>3 allora èMq composto.
  3. Sempre in virtù di questo teorema si ha pertanto che un divisore di 2^3321929603-1 di risulta essere 6643859207.
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 Perché i numeri di Mersenne, primi e non, se scritti in forma binaria, sono palindromi? I numeri di Mersenne sono di forma 2^n-1 e i numeri di Fermat sono di forma 2^n+1. Nel sistema binario, 2^n-1 diventa di forma 111....111 e 2^n+1 diventa 100....001 e in entrambi i casi si hanno numeri binari palindromi.
Per esempio 2^5=32=100000
2^5-1=31=11111
2^5+1=33=100001
4
 Perché i numeri di Fermat, primi e non, se scritti in forma binaria, sono palindromi? Quiz destinato a studenti volenterosi e appassionati ai numeri primi, e non ai matematici professionisti.
3

Quale semplice connessione lega il secondo problema al primo?

 I gemelli del secondo problema sono connessi al primo problema perché essi sono un caso particolare di numeri con differenza 2; infatti entrambi sono primi, mentre tutte le altre coppie di numeri con differenza 2 possono essere anche composti, o uno composto e l'altro primo, ma in ogni caso il loro prodotto è di forma n^2 - 1, per es. 8 x 10 = 80 = 81 -1 = 9^2-1, e 8 e 10 hanno differenza 2.
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Perché la somma di due numeri primi p e q gemelli (tranne la sola coppia di gemelli iniziale costituita da 3 e 5) è sempre un multiplo di 12, ma non viceversa (ogni multiplo di 12 non è sempre la somma di due numeri primi gemelli) N=p+q=12n. Sottoproblema: dato un qualsiasi numero N = 12n somma di due primi gemelli, trovare rapidamente p e q.

 La somma di due gemelli (tranne che per 3 + 5 = 8) è sempre di forma p+q=12n perché p=6n-1 e q = 6n+1; e quindi (6n-1)+(6n+1)=6n+6n-1+1=12n, quali che siano p e q gemelli maggiori di 3 (unica eccezione perché non di forma 6n +1.
1

Perché tutti i numeri di forma aritmetica N=n^2-1, con n pari (tranne la sola eccezione per n=2) non possono mai essere numeri primi? (I numeri N di forma N = n^2+1 invece possono essere primi, seppure molto rari, infatti fino a 101 ce ne sono solo quattro (trovateli), sono i cosiddetti numeri primi di Landau, dall'omonima congettura da noi recentemente dimostrata vera (i numeri di Landau, seppure rarissimi, sono infiniti).

 I numeri di forma n^2-1 non possono mai essere primi (tranne il 3=2^2-1=1x3) perché sono sempre il prodotto di due numeri qualsiasi con differenza 2.

 

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